Question

【題目】已知拋物線與斜率為且過拋物線焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，滿足弦長.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為拋物線上任意一點(diǎn)，為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值，以及此時點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得，進(jìn)而得到拋物線的方程；

（2）過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最小值，可得所求的坐標(biāo)．

（1）斜率為且過拋物線焦點(diǎn)的直線的方程為，

聯(lián)立拋物線，可得，

設(shè)、，可得，

由弦長公式可得，可得，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，

由拋物線的定義可得，

則最小值為到準(zhǔn)線的距離，所以，

此時的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，可得.