Question

已知f（x）=2^x，x∈R，可以表示為一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②從而可得h（x）=

1

2

(2x+2-x)，而2ag（x）+h（2x）≥0對(duì)于x∈[1，2]恒成立即2a≥-

h(2x)

g(x)

對(duì)于x∈[1，2]恒成立即2a≥-

4x+4-x

2x+2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)對(duì)于x∈[1，2]恒成立，只要求出函數(shù)-

h(2x)

g(x)

的最大值即可．

解答： 解：f（x）=2^x可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②聯(lián)立可得，h（x）=

1

2

(2x+2-x)，g（x）=

1

2

(2x-2-x)，
2ag（x）+h（2x）≥0對(duì)于x∈[1，2]恒成立
2a≥-

h(2x)

g(x)

于x∈[1，2]恒成立
2a≥-

4x+4-x

2x+2-x

=-(2x-2-x)+(2-x-2x)對(duì)于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]則t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]單調(diào)遞增，
t=

3

2

時(shí)，則t+

2

t

=

17

6

，a≥-

17

6

故答案為：a≥-

17

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立的問(wèn)題，常會(huì)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．