Question

已知函數f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（II）設函數g(x)=f(

x

2

)+2，求g（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

（I）∵f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
∴函數的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．
（II）∵g(x)=f(

1

2

x)+2=sin(x-

π

6

)+2
而0≤x≤π，所以-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

．
∴當x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，
g（x）取得最小值-

1

2

+2=

3

2

．
∴g（x）在區(qū)間[0，π]上的最小值為

3

2

，取得最小值時x的值為0