Question

已知拋物線C₁：y²＝4x的焦點(diǎn)與橢圓C₂：＝1的右焦點(diǎn)F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)；

(Ⅰ)在△ABC中，若A(－4，0)，B(0，－3)，點(diǎn)C在拋物線y²＝4x上運(yùn)動，求△ABC重心G的軌跡方程；

(Ⅱ)若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個公共點(diǎn)，且∠PF₁F₂＝α，∠PF₂F₁＝β，求cosα·cosβ的值及△PF₁F₂的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)重心G(x，y)，則整理得將(*)式代入y2＝4x中，得(y＋1)2＝　∴重心G的軌跡方程為(y＋1)2＝　　6分 　　(Ⅱ)∵橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，由y2＝4x得F2(1，0)，∴b2＝8，橢圓方程為．設(shè)P(x1，y1)，由得，∴x1＝，x1＝－6(舍)． 　　∵x＝－1是y2＝4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個焦點(diǎn)F1． 　　設(shè)點(diǎn)P到拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線的距離為PN，則|PF2|＝|PN|． 　　又|PN|＝x1＋1＝，∴． 　　過點(diǎn)P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα＝在Rt△PP1F2中，cos(π－β)＝，cosβ＝，∴cosαcosβ＝． 　　∵x1＝，∴|PP1|＝，∴　　12分