Question

已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）

（3）當時，最大值為，

當時， 的最大值為

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用.

(1) 因為 函數(shù)，其中.求導函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）因為直線是曲線的切線，設(shè)切點坐標，利用導數(shù)表示出切線方程，利用對應相等得到，實數(shù)的值；

(3) ，則，解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).然后分類討論得到結(jié)論。

解：（1），

在區(qū)間上，；在區(qū)間上， .

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）設(shè)切點坐標為，則  解得.

（3），則，解，得，

所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).

當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，

所以最大值為.

當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，

所以最大值為.

當，即時，的最大值為和中較大者；

，解得，

所以，時，最大值為，

時， 最大值為.

綜上所述，當時，最大值為，

當時， 的最大值為.