Question

如圖，在以點P為圓心，C為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F．若△OEF的面積等于2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）以O(shè)為原點，AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可知曲線C是以原點為中心，A，B為焦點的雙曲線，求出a．b值后，可得曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立雙曲線方程，由韋達(dá)定理，及△OEF的面積等于2

2

，求出k值，可得直線l的方程．

解答：解：（I）以O(shè)為原點，AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-2，0），B（2，0），D(0，2)，P(

3

，1)，
依題意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

(2+ 3 )2+12

-

(2- 3 )2+12

=2

2

＜|AB|=4
∴曲線C是以原點為中心，A，B為焦點的雙曲線．
設(shè)實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c=2，2a=2

2

⇒a²=2，b²=c²-a²=2，
∴曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1．
（II）依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E，F(xiàn)，
∴

1-k2≠0 △=(-4k)2+4×6(1-k)2＞0

?

k≠±1 - 3 ＜k＜ 3

∴k∈(-

3

，-1)∪(-1，1)∪(1，

3

)．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則由①式得x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

6

1-k2

，
于是|EF|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

而原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

，
∴S△OEF=

1

2

d•|EF|=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

2 2 3-k2

|1-k2|

=

2 2 3-k2

|1-k2|

．
若S△OEF=2

2

，即

2 2 3-k2

|1-k2|

=2

2

?k4-k2-2=0，
解得k=±

2

，
故直線l的方程為y=±

2

x+2，

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的軌跡問題，解答（I）的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，解答（II）的關(guān)鍵是“聯(lián)立方程+設(shè)而不求+韋達(dá)定理”三架馬車．