Question

8．已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N*，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得，利用a_n=S_n-S_n-1，求出數列{a_n}是等差數列，a₁，a₂，a₆是等比數列求出首項為1，即可求出數列{a_n}的通項；a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項求出其公比，即求出{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可知數列{a_nb_n}的通項公式，再由錯位相減求和法求出T_n．

解答 解：由題意得：
（1）因為6S_n=a_n²+3a_n+2①，所以6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2②，
所以②-①得：6S_n-6S_n-1=a_n²+3a_n+2-a_n-1²+3a_n-1+2，
所以3a_n+3a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又因為正項數列{a_n}，所以a_n+a_n-1＞0，
所以a_n-a_n-1=3，
當n=1時，6S₁=a₁²+3a₁+2，
所以a₁=1或2，
又因為a₁=2時，a₂=2+3=5，a₆=2+5*3=17，顯然a₁，a₂，a₆不是等比數列，
所以a₁=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=3n-2；
又因為a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項，
所以a₂=4，a₆=16，
所以q=4，
所以b_n}=a₁*q^n-1=4^n-1；
（2）由（1）可知a_nb_n=（3n-2）*4^n-1，
所以T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=1*4¹+4*4²+…+（3n-5）*4^n-2+（3n-2）*4^n-1①，
所以4T_n=1*4²+4*4³+…+（3n-5）*4^n-1+（3n-2）*4ⁿ②，
所以①-②得：（1-4）T_n=1*4¹+3*4²+3*4³…+3*4^n-1-（3n-2）*4ⁿ，
所以-3T_n=1*4¹+3*$\frac{16*（1-{4}^{n-2}）}{1-4}$-（3n-2）*4ⁿ，
所以T_n=$\frac{13}{3}$+（n-1）4ⁿ．

點評 （1）本題主要考察S_n與a_n的關系，注意a₁的求解，難度中上；（2）本題主要考察錯位相減法求數列的前n項和，解題關鍵在于計算過程的準確性．