Question

（本小題滿(mǎn)分13分）
如圖，已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)任作一直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)在定直線(xiàn)上；
(2)作的任意一條切線(xiàn)（不含軸）與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線(xiàn)相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）8.

解析試題分析：（1）證明動(dòng)點(diǎn)在定直線(xiàn)上，實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，本題解題思路為根據(jù)條件求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而探求動(dòng)點(diǎn)軌跡：依題意可設(shè)AB方程為，代入，得，即.設(shè)，則有：，直線(xiàn)AO的方程為；BD的方程為；解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，注意到及，則有，因此D點(diǎn)在定直線(xiàn)上.（2）本題以算代征，從切線(xiàn)方程出發(fā)，分別表示出的坐標(biāo)，再化簡(jiǎn).設(shè)切線(xiàn)的方程為，代入得，即，由得，化簡(jiǎn)整理得，故切線(xiàn)的方程可寫(xiě)為，分別令得的坐標(biāo)為，則，即為定值8.
試題解析：（1）解：依題意可設(shè)AB方程為，代入，得，即.設(shè)，則有：，直線(xiàn)AO的方程為；BD的方程為；解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，注意到及，則有，因此D點(diǎn)在定直線(xiàn)上.（2）依題設(shè)，切線(xiàn)的斜率存在且不等于零，設(shè)切線(xiàn)的方程為，代入得，即，由得，化簡(jiǎn)整理得，故切線(xiàn)的方程可寫(xiě)為，分別令得的坐標(biāo)為，則，即為定值8.
考點(diǎn)：曲線(xiàn)的交點(diǎn)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程