Question

已知圓，若焦點(diǎn)在軸上的橢圓 過點(diǎn)，且其長軸長等于圓的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，與圓交于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，求弦長；
（3）求面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）由題意可知，又因為橢圓過點(diǎn)，代入方程可求得，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可設(shè)直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，再根據(jù)勾股定理可算出半弦長，從而得到弦長；（3）因為，故直線的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立方程組，從而求出的長，則三角形的面積為，利用基本不等式求出最大值．
試題解析：
（1）由題意得，，所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，
又圓O：，故點(diǎn)O到直線的距離，
所以．
（3）因為，故直線的方程為，
由消去，整理得，
故，所以，
設(shè)的面積為S，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
考點(diǎn)：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用．