Question

在數列{a_n}中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2，且n∈N*）．
（1）設，證明：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

【解】（1）由題意的
∵
=，
∴數列{b_n}是首項為，公差為1的等差數列．
（2）由（1）得，，
∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）．
∴S_n=-3+（1×2²-3）+（2×2³-3）+…+[（n-1）•2ⁿ-3]，
即S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ-3n．
設T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，
則2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹=，
整理得，T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，
從而S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n（n∈N^*）．
分析：（1）利用等差數列的定義證明b_n+1-b_n=常數．
（2）由（1）得b_n是等差數列所以得到a_n=（n-1）•2ⁿ-3，再利用錯位相減求數列{（n-1）•2^n_}的前n 項的和T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，進而求出數列{a_n}的前n項和為
S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n
點評：本題考查等差數列的定義與數列求和，重點考查利用錯位相減法求解等差數列與等比數列乘積形式的數列求和，這也是高考的熱點．