Question

（1992•云南）91⁹²除以100的余數(shù)是

81

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)91⁹²，可得展開(kāi)式中，除了最后一項(xiàng)9⁹²外，其余的項(xiàng)都能被100整除，故91⁹²除以10的余數(shù)是 9⁹²．再用二項(xiàng)式定理展開(kāi) 9⁹²=（10-1）⁹²，可得故9⁹²除以100的余數(shù)為-919=-10×100+81，即81，
從而得到答案．

解答：解：由于91⁹²=（100-9）⁹²=

C

0 92

•10092•(-9)0+

C

1 92

•10091•(-9)1+

C

2 92

•10090•(-9)2
+…+

C

91 92

•1001•(-9)91+

C

92 92

•1000•(-9)92，
在此展開(kāi)式中，除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都能被100整除，故91⁹²除以100的余數(shù)是

C

92 92

•1000•992=9⁹²．
而 9⁹²=（10-1）⁹²=

C

0 92

•1092•(-1)0+

C

1 92

•1091•(-1)1+

C

2 92

•1090•(-1)2+…+

C

90 92

•102•(-1)90+

C

91 92

•101•(-1)91+

C

92 92

•100•(-1)92，
故9⁹²除以100的余數(shù)為

C

91 92

•101•(-1)91+

C

92 92

•100•(-1)92=-919=-10×100+81，即81，
故答案為 81．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．