Question

已知橢圓過點，其焦距為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處

的切線方程為，試運用該性質(zhì)解決以下問題：

（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正

半軸交于兩點，求面積的最小值；

（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為

．當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；

若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數(shù)法求解即可；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關系．第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結(jié)論．在解決與拋物線性質(zhì)有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此．

試題解析：（I）【解析】
依題意得：橢圓的焦點為，由橢圓定義知：

，所以橢圓的方程為．

（II）（�。┰O，則橢圓在點B處的切線方程為

令，，令，所以

又點B在橢圓的第一象限上，所以

，當且僅當

所以當時，三角形OCD的面積的最小值為

（Ⅲ）設，則橢圓在點處的切線為：

又過點，所以，同理點也滿足，

所以都在直線上，

即：直線MN的方程為

所以原點O到直線MN的距離，

所以直線MN始終與圓相切．

考點：(1)橢圓的方程以及直線與橢圓的綜合問題，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和分析問題的能力 ．