Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知中S_n+1=4a_n+2，易得S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減可得a_n+2=4a_n+1-4a_n．結(jié)合b_n=a_n+1-2a_n，易求出數(shù)列{b_n}相鄰兩項之比為定值，再結(jié)合a₁=1，即可得到數(shù)列{b_n}是首項，進而得到結(jié)論；
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

，即可證明數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列；
求出通項

an

2n

，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）由題意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q=

bn+1

bn

=2，
又由題設(shè)，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為b_n=3•2^n-1．
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴數(shù)列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列；
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）

3

4

，
∴an=(3n-1)2n^-2．

點評：本題考查了等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，要判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項之間的差（比）是否為定值．本題利用構(gòu)造新數(shù)列求通項．