Question

如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).

求證:平面POD⊥平面PAC.

 

Answer 1

見解析

【解析】

【證明】如圖,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).

設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個(gè)法向量,則由n1·=0,n1·=0,

得

所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).

設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個(gè)法向量,

則由n2·=0,

n2·=0,得

所以x2=-z2,y2=z2.

取z2=1,得n2=(-,,1).

因?yàn)?/span>n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,

所以n1⊥n2.

從而平面POD⊥平面PAC.