Question

已知數列{a_n}滿足a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n∈N^*．
（1）求證：數列{

1

an

-1}為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數m，s，t，使m，s，t成等差數列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

3an

2an+1

，變形可得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，從而可證明數列{

1

an

-1}為等比數列；
（2）假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，則有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1).

，代入條件，利用基本不等式，即可得出結論．

解答：（1）證明：因為an+1=

3an

2an+1

，
所以

1

an+1

=

1

3an

+

2

3

．…（1分）
所以

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)．…（3分）
因為a1=

3

5

，則

1

a1

-1=

2

3

．…（4分）
所以數列{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數列．…（5分）
（2）解：由（1）知，

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

，
所以an=

3n

3n+2

．…（7分）
假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，
則有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1).

…（9分）
由an=

3n

3n+2

與(as-1)2=(am-1)(at-1)，
得(

3s

3s+2

-1)2=(

3m

3m+2

-1)(

3t

3t+2

-1)．…（10分）
即3^m+t+2×3^m+2×3^t=3^2s+4×3^s．…（11分）
因為m+t=2s，所以3^m+3^t=2×3^s．…（12分）
因為3m+3t≥2

3m+t

=2×3s，當且僅當m=t時等號成立，
這與m，s，t互不相等矛盾．…（13分）
所以不存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件．…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，假設存在，引出矛盾是關鍵．