Question

【題目】設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(I)若直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，且斜率為2，求線段AB的長(zhǎng)度|AB|；

(II)當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(4，0)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M（4,0）

【解析】分析：（I）由題意得到直線AB的方程，代入拋物線方程后，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式可得所求．（II）設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程消去x后得到二次方程，由OA⊥OB及根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而證得直線過定點(diǎn)．

詳解：（I）由題意得F（1,0），則直線AB的方程為．

由，消去y整理得．

其中△=5>0．

設(shè)點(diǎn)，

則，

所以．

（II）方法一：因?yàn)?/span>A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，

所以設(shè)，

由OA⊥OB得，

所以．

所以

因?yàn)?/span>，

所以∥，

即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M（4,0）．

方法二：設(shè)直線AB的方程為，

由消去x整理得，

∵直線AB與拋物線交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)，

則．

∵OA⊥OB，

∴

，

∴，

解得，

∴直線AB的方程為，

∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M（4,0）．