Question

某森林出現火災，火勢正以每分鐘100 m²的速度順風蔓延，消防站接到警報立即派消防員前去，在火災發(fā)生后五分鐘到達救火現場，已知消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火50 m²，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀1 m²森林損失費為60元，問應該派多少消防員前去救火，才能使總損失最少？

Answer 1

分析：將實際問題轉化成數學最值問題，利用基本不等式求最值或利用導數求最值

解答：解：設派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y元，則
t=

5×100

50x-100

=

10

x-2

，
y=滅火材料、勞務津貼+車輛、器械、裝備費+森林損失費
=125tx+100x+60（500+100t）
=125x•

10

x-2

+100x+30000+

60000

x-2

方法一：y=1250•

x-2+2

x-2

+100（x-2+2）+30000+

60000

x-2

=31450+100（x-2）+

62500

x-2

≥31450+2

100×62500

=36450，
當且僅當100（x-2）=

62500

x-2

，
即x=27時，y有最小值36450．
答：應該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元、
方法二：y′=

1250(x-2-x)

(x-2)2

+100-

60000

(x-2)2

=100-

62500

(x-2)2

，
令100-

62500

(x-2)2

=0，
解得x=27或x=-23（舍）
當x＜27時y′＜0，當x＞27時y′＞0，
∴x=27時，y取最小值，最小值為36450元，
答：應該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．

點評：①本題考查閱讀理解的能力
②利用基本不等式求最值湊定值的能力
③利用導數求最值的能力