Question

（本小題滿分12分）

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）.

（I）當x=2時，求證：BD⊥EG ；

（II）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，

求的最大值；

（III）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

（1）方法一：∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．

，又為BC的中點，BC=4，

．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴。

方法二：作DH⊥EF于H，連BH，GH，

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

為平行四邊形，且

，四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH，

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．

（或者直接利用三垂線定理得出結果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 =V_A-BFC＝

，

即時有最大值為．

（3）設平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴

（－2，2，2），

則 ，

即，

取，∴

，面BCF一個法向量為，

則cos<>=，

由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－．