Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)圓x²+y²=1上任一點(diǎn)P作該圓的切線(xiàn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓的切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用M（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，建立方程，求出a，b，c，即可求橢圓方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)為y=kx+m，與圓相切可得m²=k²+1，直線(xiàn)代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求|AB|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵M(jìn)（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，
∴（-c，-b）•（c，-b）=2，a-c=1，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線(xiàn)為y=kx+m，與圓相切可得m²=k²+1，
直線(xiàn)代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 8km 4k2+3 x1x2= 4m2-12 4k2+3 △＞0

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(9k2+6) (4k2+3)2

令t=k2+

3

4

，則|AB|=

9+ 3 2t - 9 16t2

∴|AB|∈[3，

4 6

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線(xiàn)與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．