Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）求雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，利用雙曲線的定義，可求雙曲線的離心率．
（2）由（1）可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$a，即可求雙曲線的漸近線方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的焦距長(zhǎng)為2c
∵點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c
∴|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c=2a
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1；
（2）c=（$\sqrt{3}$+1）a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$a，
∴雙曲線的漸近線方程y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c．