Question

【題目】已知函數(shù) 在點 處的切線方程是 .

（1）求 ， 的值及函數(shù) 的最大值；

（2）若實數(shù) ， 滿足 （ ）

1）證明： ；

2）若 ，證明： .

Answer 1

【答案】(1)時，．(2)(i)見解析;(ii)見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出，由可得確定函數(shù)的解析式，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）（ⅰ）結合（Ⅰ），可得，即.

又因為，所以，故；（ⅱ）由

可得，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，從而得，，進而可得結果.

詳解：（Ⅰ），

由題意有，解得．

故，，

，所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)．

故有當時，．

（Ⅱ）證明：

（ⅰ），

由（Ⅰ）知，所以，即.

又因為，所以，故.

（ⅱ）法一：

由（1）知

在上單調(diào)遞增

即：

法二：，

構造函數(shù)，，

因為，所以，

即當時，，所以在為增函數(shù)，

所以，即，故