Question

過x軸上的動點A（a，0）的拋物線y=x²+1引兩切線AP、AQ，P、Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（2）求證：直線PQ過定點；
（3）若a≠0，試求S_△APQ：|OA|的最小值．

Answer 1

分析：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），由題意可得，k_AP=

y1

x1-a

=

x12+1

x1-a

，由導數的幾何意義可得，k_AP=2x₁，
∴

x1 2+1

x1-a

=2x₁，解方程可得切點，進而可求切線方程
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，可知直線PQ的方程是y=2ax+2，直線PQ過定點（0，2）．
（Ⅲ）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離d=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由此能夠推導出

S△APQ

| PQ |

的最小值．

解答：解：（I）設切點P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁）
由題意可得，k_AP=

y1

x1-a

=

x12+1

x1-a

，由導數的幾何意義可得，k_AP=2x₁，
∴

x1 2+1

x1-a

=2x₁，整理可得x12-2ax1-1=0，同理可得x22-2ax2-1=0，
從而可得x₁，x₂是方程x²-2ax-1=0的兩根，
∴x=a±

1+a2

，k₁=kAP=2(a+

1+a2

)，k₂=kAQ=2(a-

1+a2

)，
∴k₁•k₂=2(a+

1+a2

)•2(a-

1+a2

)=-4，
即k₁•k₂為定值-4．
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁），
則-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）
∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2，
則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）．
（Ⅲ）

S△APQ

| PQ |

即A（a，0）點到PQ的距離，
要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，
而A到直線PQ的距離d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

，
當且僅當

4a2+1

=

3

4a2+1

，即a²=

1

2

時取等號，
∴

S△APQ

| PQ |

最小值為

3

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．解決這一類型題目的常用做法是把直線方程與圓錐曲線方程聯立，再結合根與系數的關系求出交點坐標之間的關系．