Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為A，B，且A⊆B，若對(duì)于任意x∈A，都有g(shù)（x）=f（x），則稱(chēng)g（x）函數(shù)為f（x）在B上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=e^-x（x-1）（x＞0），g（x）為f（x）在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g（x）是奇函數(shù)．給出以下命題：
①當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=e^-x（1-x）；          
②函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
③g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；     
 ④?x₁，x₂∈R，都有$|g（{x_1}）-g（{x_2}）|≤\frac{2}{e^2}$．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)x＜0，則-x＞0，由函數(shù)得性質(zhì)可得解析式，可判①的真假，再由性質(zhì)作出圖象可對(duì)其他命題作出判斷．

解答 解：由題意得，x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=e^-x（x-1），
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，g（-x）=f（-x）=e^x（-x-1）=-g（x），所以g（x）=e^x（x+1），故①不正確；
對(duì)x＜0時(shí)的解析式求導(dǎo)數(shù)可得，g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且當(dāng)x∈（-∞，-2）上導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-2，+∞）上導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，
x=-2處為極小值點(diǎn)，且g（-2）＞-1，且在x=1處函數(shù)值為0，且當(dāng)x＜-1是函數(shù)值為負(fù)．
又因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f（x）的圖象應(yīng)如圖所示：
由圖象可知：函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，故②③正確；
由于函數(shù)-1＜g（x）＜1，故有對(duì)?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即④不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是個(gè)新定義題，主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法，在解題時(shí)注意對(duì)于新定義的理解．作出函數(shù)的圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．