Question

設a為實數，函數f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值. 

Answer 1

(1) f(x)既不是奇函數也不是偶函數. (2) ，當a≤－時，函數f(x)的最小值是－a,當－＜a≤時，函數f(x)的最小值是a²+1;當a>時，函數f(x)的最小值是a+.

解析:

  (1)當a=0時，函數f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數；當a≠0時，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a)  此時函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數.

(2)①當x≤a時，函數f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,則函數f(x)在(－∞,a上單調遞減，從而，函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f(a)=a²+1.

若a>,則函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).

②當x≥a時，函數f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;

當a≤－時，則函數f(x)在［a,+∞上的最小值為:

f(－)=－a,且f(－)≤f(a).

若a>－,?則函數f(x)在［a,+∞)上單調遞增，

從而，函數f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當a≤－時，函數f(x)的最小值是－a,

當－＜a≤時，函數f(x)的最小值是a²+1;

當a>時，函數f(x)的最小值是a+.