Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[0，

π

3

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）用二倍角的正、余弦公式將f（x）表達(dá)式進(jìn)行降次，再用輔助角公式合并，可得f（x）═2sin（2x+

π

6

），最后可由三角函數(shù)的周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），并解之可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；
（3）因為0≤x≤

π

3

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x=0或

π

3

時，函數(shù)有最小值為1；當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)有最大值為2．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（3）若x∈[0，

π

3

]，即0≤x≤

π

3

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
可得當(dāng)2x+

π

6

=

π

6

或

5π

6

時，即x=0或

π

3

時，函數(shù)有最小值為1；
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時，函數(shù)有最大值為2．

點評：本題將一個函數(shù)化簡整理為y=Asin（ωx+φ）的形式，并求它的單調(diào)性、周期性和最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和三角函數(shù)的最值等知識點，屬于中檔題．