Question

【題目】已知橢圓C：（）的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)圍成面積為12的正方形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)我們稱(chēng)圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.過(guò)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若直線、的斜率為、，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)“衛(wèi)星圓”的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)；(2)8個(gè).

【解析】

(1)由條件可得，解出來(lái)即可；

(2) 設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為，由定義可得“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求其圓心到直線，直線的距離，整理可轉(zhuǎn)化為、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，再加上，，解方程即可.

(1)∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)圍成面積為12的正方形，

∴由橢圓的定義和正方形的性質(zhì)，可得，

解得.

又

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為.

由“衛(wèi)星圓”的定義，可得“衛(wèi)星圓”的半徑為.

∴“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

∵直線：與“衛(wèi)星圓”相切，

則由點(diǎn)到直線的距離公式可，

化簡(jiǎn)得.

同理可得.

∴、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴，由，得，

將代入得，.

又∵“衛(wèi)星圓”的圓心在橢圓C上，

∴代入橢圓方程中，可得.

解得，

.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共8個(gè)，

∴這樣“衛(wèi)星圓”存在8個(gè).