Question

已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN中點的橫坐標為–，求直線l傾斜角的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

由已知，，由解得a=3，   

∴為所求 

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)

解方程組

將①代入②并化簡，得 

       

將④代入③化簡后，得。                           

解得   ∴ ， 所以傾斜角  。                            

解法二：（點差法）設(shè)的中點為在橢圓內(nèi)，且直線l不與坐標軸平行。

因此，，

∵，

∴兩式相減得 

即  

∴。所以傾斜角

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：典型題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通過聯(lián)立方程組得到一元二次方程，應(yīng)用韋達定理可實現(xiàn)整體代換，簡化解題過程。涉及橢圓上兩點問題，可以利用“點差法”，建立連線的斜率與a,b的關(guān)系。