Question

已知圓x²+y²-2ax-6ay+10a²-4a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線L：y=x+m．
（1）若a=2，求直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值；
（3）若直線L是圓心C下方的切線，當a變化時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）a=2，求出圓的圓心與半徑，利用直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值是直徑，求出直徑即可；
（2）通過m=2，利用半弦長、半徑、弦心距滿足的勾股定理，即可利用二次函數(shù)求直線L被圓C所截得的弦長|AB|的最大值；
（3）直線L是圓心C下方的切線，利用半弦長、半徑、弦心距滿足的勾股定理，得到a與m的關(guān)系式，當a變化時，求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：圓C的方程可化為（x-a）²+（y-3a）²=4a…（1分）
∴圓心為C（a，3a），半徑為r=2

a

…（2分）
（1）若a=2，則c（2，6），r=2

2

，
∵弦AB過圓心時最長，
∴|AB|_max=4

2

…（4分）
（2）若m=2，
則圓心C（a，3a）到直線x-y+2=0的距離
d=

|-2a+2|

2

=

2

|a-1|，r=2

a

…（5分）
直線與圓相交，
∴d＜r，∴a²-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴a∈(2-

3

，2+

3

)…（6分）
又|AB|=2

r2-d2

=2

-2a2+8a-2

=2

-2(a-2)2+6

，…（7分）
∴當a=2時，|AB|max=2

6

…（8分）
（3）圓心C（a，3a）到直線x-y+m=0的距離d=

|-2a+m|

2

…（9分）
∵直線L是圓心C的切線，
∴d=r，

|m-2a|

2

=2

a

，|m-2a|=2

2a

∴m=2a±2

2a

…（11分）
∵直線L是圓心C下方，
∴m=2a-2

2a

=（O-1）²-1…（12分）
∵a∈（0，4]，
∴當a=y時，m_min=-1；  當a=4時，m_max=8-41，…（13分）
故實數(shù)m的取值范圍是[-1，8-42]…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力、轉(zhuǎn)化思想的應用．