Question

如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交于點，平面，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（1）根據(jù)線面垂直得到線與線垂直，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結(jié)果．

（2）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解：（法一）（Ⅰ）平面平面， ．……1分

又，

平面

而平面

．………………3分

是圓的直徑，．

又，

．

平面，，

平面．

與都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理證得）．…………………5分

，     平面．

而平面，

．  …………………………6分

（Ⅱ）延長交于，連，過作，連結(jié)．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

為平面與平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，則．………………11分

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……………12分

（法二）（Ⅰ）同法一，得．……………3分

如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標系．

由已知條件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（Ⅱ）由（1）知．

設平面的法向量為，

由 得，

令得，，………………9分

由已知平面，所以取面的法向量為，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則，……………11分

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．………………12分