Question

(本題分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，

，為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若二面角的大小為，求的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；

（Ⅲ）

【解析】本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行及線線垂直，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及空間位置關(guān)系與向量的對(duì)應(yīng)，此類解題，方法簡(jiǎn)單思維量小，但計(jì)算量大，易因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致解題失敗，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)真，利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點(diǎn)，必考內(nèi)容，學(xué)習(xí)時(shí)要好好把握

（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA₁

的方向?yàn)閄軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出向量 AD,B₁E的坐標(biāo)，驗(yàn)證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直

（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA₁上存在一點(diǎn)P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量?jī)?nèi)積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點(diǎn)P滿足題意．

（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個(gè)平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程，解出a的值即可得出AB的長(zhǎng)

解：（Ⅰ）長(zhǎng)方體中，

得：面

面-----------4分

（Ⅱ）取的中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接

在中，面

 此時(shí)-----------------------8分

（Ⅲ）設(shè)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接

面，

得：是二面角的平面角

在中，

在矩形中，