Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=ax+（1﹣a）lnx+（a∈R）

（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求 f（x）的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的個(gè)數(shù)能否達(dá)到3，若能請求出此時(shí)a的范圍，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題（Ⅰ）代入a的值，求出定義域，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（Ⅱ）直接對f（x）求導(dǎo)，根據(jù)a的不同取值，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由第二問的結(jié)論，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：（Ⅰ）f（x）其定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）．

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=，f'（x）=．

令f'（x）=0，解得x=1，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；

所以x=1時(shí)，f（x）有極小值為f（1）=1，無極大值

（Ⅱ） f'（x）=a﹣（x＞0）

令f'（x）=0，得x=1或x=﹣

當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，1＜﹣，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞﹣，

令f'（x）＞0，得1＜x＜﹣；

當(dāng)a=﹣1時(shí)，f'（x）=﹣．

當(dāng)a＜﹣1時(shí)，0＜﹣＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞1，

令f'（x）＞0，得﹣＜a＜1；

綜上所述：

當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（﹣），

單調(diào)遞增區(qū)間是（1，﹣）；

當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)a＜﹣1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，﹣），（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是

（Ⅲ）a≥0∴

f'（x）=0（x＞0）僅有1解，方程f（x）=0至多有兩個(gè)不同的解．

（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+1＞0說明．）

由（Ⅱ）知﹣1＜a＜0時(shí)，極小值 f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在區(qū)間（﹣）上有1個(gè)解．

a=﹣1時(shí)f（x）單調(diào)，方程f（x）=0至多有1個(gè)解．；

a＜﹣1時(shí)，，方程

f（x）=0僅在區(qū)間內(nèi)（0，﹣）有1個(gè)解；

故方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)不能達(dá)到3．