Question

5．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點Q，R分別是CD，PD中點．
（1）求證：AR⊥平面PCQ；
（2）若M是BC中點，N在PB上，且PN=3NB，求證：MN∥平面PAQ．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CD，AD⊥CD，進而CD⊥平面PAD，CD⊥AR，由此能證明AR⊥平面PCD．
（2）過N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，連結(jié)MF，過C作CE∥AQ，交AB于E，從而NF∥PA，MF∥AQ，進而平面MNF∥平面PAD，由此能證明MN∥平面PAQ．

解答 證明：（1）∵PA=AD，點Q是PD中點，∴AR⊥PD，
∵底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AR?平面PAD，∴CD⊥AR，
∵PD∩CD=D，∴AR⊥平面PCD．
（2）過N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，連結(jié)MF，過C作CE∥AQ，交AB于E，
∵PA⊥平面ABCD，∴NF∥PA，∵Q是CD中點，PN=3NB，
∴MF∥AQ，∵NF∩MF=F，PA∩AQ=A，
∴平面MNF∥平面PAD，
∵MN?平面MNF，∴MN∥平面PAQ．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．