Question

過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k＞1）的切線，切點(diǎn)為Q₁，設(shè)點(diǎn)Q₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁；又過(guò)點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q₂，設(shè)點(diǎn)Q₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂；…依次下去，得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，…Q_n，…，設(shè)點(diǎn)Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（Ⅰ）求證：an=(

k

k-1

)n，n∈N*；
（Ⅱ）求證：a_n≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）求證：

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…+

n

an

＜k2-k．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)y=x^k求導(dǎo)，求出過(guò)曲線上的點(diǎn)Q_n的切線方程，結(jié)合其投影點(diǎn)求得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a1=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列的通項(xiàng)公式變形，運(yùn)用二項(xiàng)式定理放縮證明a_n≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）由錯(cuò)位相減法求出

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明答案．

解答： 證明：（Ⅰ）對(duì)y=x^k求導(dǎo)數(shù)，
得y′=kx^k-1，
點(diǎn)Q_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P₁（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a1=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

k

k-1

)n，n∈N^*；
（ II）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n
=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

k-1

+

C

2 n

•(

1

k-1

)2+…+

C

n n

•(

1

k-1

)n＞1-

n

k-1

； 
（ III）an=(

k

k-1

)n，
令q=

k

k-1

，則an=qn，
Sn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

=

1

q

+

2

q2

+…+

n

qn

，
qSn=

1

q2

+

2

q3

+…+

n

qn+1

，
兩式相減，得

1

2

Sn=

1

q

+

1

q2

+…+

1

qn

-

n

qn+1

=

1 q (1- 1 qn )

1- 1 q

-

n

qn+1

，
∴S_n=q-

n+q

qn

，
則S_n=

k

k-1

-

n+ k k-1

( k k-1 )n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，Sn=

k-1

k

＜k2-k(k＞1)；
假設(shè)n=m時(shí)結(jié)論成立，即

1

a1

+

2

a2

+…+

m

am

＜k2-k，
則當(dāng)n=m+1時(shí)，

1

a1

+

2

a2

+…+

m

am

+

m+1

am+1

＜k2+k+

m+1

( k k+1 )m+1

=k2+k+(m+1)(1+

1

k

)m+1＜k²+3k+2=（k+1）²+k+1．
綜上，

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…+

n

an

＜k2-k．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用放縮法和數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．