Question

11．設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+$\frac{x}$+c（x∈（0，+∞），n∈N^*，b，c∈R）．
（1）當(dāng)b=-1時，對于一切n∈N^*，函數(shù)f_n（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)總存在唯一零點，求c的取值范圍；
（2）若f₂（x）區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（3）當(dāng)b=-1，c=1時，函數(shù)f_n（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)的零點為x_n，判斷數(shù)列x₁，x₂，…，x_n，…的增減性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=-1時，化簡f_n（x）=xⁿ-$\frac{1}{x}$+c在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)有唯一零點及函數(shù)的單調(diào)性可知f（$\frac{1}{2}$）＜0且f（1）＞0；從而可得$\frac{1}{{2}^{n}}$-2+c＜0對于n∈N^*恒成立且c＞0，從而求得c的取值范圍；
（2）由f₂（x）=x²+$\frac{x}$+c在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性的定義可設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，從而化為f₂（x₁）-f₂（x₂）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0或＜0對于1≤x₁＜x₂≤2恒成立，化為恒成立問題解得．
（3）當(dāng)b=-1，c=1時，f_n（x）=xⁿ-$\frac{1}{x}$+1，f_n+1（x）=xⁿ⁺¹-$\frac{1}{x}$+1，從而可得f_n（x）=x_nⁿ-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1=0；再由$\frac{1}{2}$＜x_n＜1得x_nⁿ⁺¹＜x_nⁿ，從而可得f_n+1（x_n）=x_nⁿ⁺¹-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1＜x_nⁿ-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1=0，可證明f_n+1（x_n）＜f_n+1（x_n+1）；再由函數(shù)f_n+1（x）=xⁿ⁺¹-$\frac{1}{x}$+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)知x_n＜x_n+1；從而證明．

解答 解：（1）當(dāng)b=-1時，f_n（x）=xⁿ-$\frac{1}{x}$+c在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)有唯一零點，
因為函數(shù)f_n（x）=xⁿ-$\frac{1}{x}$+c在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，
所以f（$\frac{1}{2}$）＜0且f（1）＞0；
即$\frac{1}{{2}^{n}}$-2+c＜0且c＞0，
由$\frac{1}{{2}^{n}}$-2+c＜0對于n∈N^*恒成立得c＜$\frac{3}{2}$；
所以c的取值范圍為（0，$\frac{3}{2}$）．
（2）f₂（x）=x²+$\frac{x}$+c在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，
f₂（x₁）-f₂（x₂）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由題知x₁x₂（x₁+x₂）-b＞0或x₁x₂（x₁+x₂）-b＜0對于1≤x₁＜x₂≤2恒成立，
因為2＜x₁x₂（x₁+x₂）＜16，
所以b≥16或b≤2．
（3）數(shù)列x₁，x₂，…，x_n，…是遞增數(shù)列，證明如下：
當(dāng)b=-1，c=1時，f_n（x）=xⁿ-$\frac{1}{x}$+1，f_n+1（x）=xⁿ⁺¹-$\frac{1}{x}$+1，
f_n（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上的零點是x_n，
所以f_n（x）=x_nⁿ-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1=0；
由$\frac{1}{2}$＜x_n＜1知，x_nⁿ⁺¹＜x_n，
所以f_n+1（x_n）=x_nⁿ⁺¹-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1＜x_nⁿ-$\frac{1}{{x}_{n}}$+1=0，
設(shè)f_n+1（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上的零點為x_n+1，
所以f_n+1（x_n+1）=0，
即f_n+1（x_n）＜f_n+1（x_n+1）；
又函數(shù)f_n+1（x）=xⁿ⁺¹-$\frac{1}{x}$+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，
所以x_n＜x_n+1；
即數(shù)列x₁，x₂，…，x_n，…是遞增數(shù)列．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時考查了數(shù)列的應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．