Question

【題目】如圖所示的三棱臺中，分別為的中點，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接，根據分別為的中點，利用三角形中位線得到，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）易證兩兩垂直，分別以，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，代入公式求解.

（1）連接，因為分別為的中點，所以，

因為平面平面，

所以平面．

（2）由（1）得，

因為，

所以，

又因為，

所以平面，

所以，

因為，

所以平面，

所以兩兩垂直，

分別以，為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

所以，

設平面的一個法向量為，

則即

令，則，

設平面的一個法向量為，

則，即

令，則，

，

因為二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．