Question

等差數列{b_n}的首項為1，公差為2，數列{a_n}與{b_n}且滿足關系式（n∈N^*），奇函數f（x）定義域為R，當x＜0時，．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若，求p+q必須滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）當x=0時，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，設x＞0則-x＜0，將其代入小于0的解析式，根據奇函數的性質求出大于0的解析式；
（2）當n=1時，a₁=b₁=1，當n≥2時，利用遞推關系作差即可即可求出a_n的通項公式；
（3）根據函數的定義域為R求出p的范圍，由于a_n＞0，，所以3^3q＞1，即q＞0，從而求出p+q必須滿足的條件．
解答：解：（1）當x=0時，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0當x＞0時，
所以f（x）=

（2）當n=1時，a₁=b₁=1；
當n≥2時，由于，所以
相減計算得a_n=3n-2
檢驗得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=的定義域為R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以
由于，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．
點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，以及函數奇偶性以及數列的極限等有關知識，屬于中檔題．