Question

【題目】定義：對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．

（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為定義域上的“局部奇函數(shù)”?若是，求出所有滿足的的值；若不是，請說明事由．

（2）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

（3）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）為“局部奇函數(shù)”；（2）；（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知中“局部奇函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)，可得結(jié)論；

（Ⅱ）若是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則有解，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若是定義域上的“局部奇函數(shù)”，則有解，使用換元法和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到實數(shù)的取值范圍；

試題解析：

（1）當(dāng)，方程即，

，所以為“局部奇函數(shù)”．

（2）法一：當(dāng)時，可化為，

∵有定義域為，所以方程在有解，

令，則，

∵在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)時，，即，

∴．

法二：當(dāng)時，可化為，

令，則關(guān)于的二次方程在上有解即可，

保證為“局部奇函數(shù)”，設(shè)．

①當(dāng)方程在上只有一解時，

須滿足在或，

解得或舍去，

因為此時方程在區(qū)間有兩解，不符合這種情況．

②當(dāng)方程在上有兩個不相等實根時，

須滿足，

解得，∴．

（3）當(dāng)為定義域上的“局部奇函數(shù)”時，，

可化為，

令，則，，

從而在有解，即可保證為“局部奇函數(shù)”

令，則

①時，在有解，

即，解得．

②當(dāng)，在有解等價于，

，解得．

綜上，，

∴的取值范圍是．