Question

傾斜角為鈍角的直線L過點（1，1），點（4，2）到直線L的距離為

5

，
（Ⅰ）求直線L的方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m使圓x²+y²+x-6y+m=0和直線L交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），若存在，求m的值．若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)直線方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，利用點（4，2）到直線L的距離為

5

，求出k，即可求直線L的方程；
（Ⅱ）設(shè)出P，Q的坐標，根據(jù)OP⊥OQ可推斷出x_px_Q+y_py_Q=0，把P，Q坐標代入求得關(guān)系式，把直線方程與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直線方程求得y_p•y_Q的表達式，最后聯(lián)立方程求得m，利用判別式驗證成立，答案可得．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
∵點（4，2）到直線L的距離為

5

，
∴

|3k-1|

k2+1

=

5

，
∵k＜0，
∴k=-

1

2

∴直線L的方程為x+2y-3=0；
（Ⅱ）設(shè)點P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
當OP⊥OQ時，K_op•K_OQ=-1，∴x_px_Q+y_py_Q=0（1）
直線L代入圓x²+y²+x-6y+m=0，可得方程5x²+10x+（4m-27）=0，
∴有：x_p+x_Q=-2，x_p•x_Q=

4m-27

5

（2）
又P、Q在直線x+2y-3=0上y_p•y_Q=

1

2

（3-x_p）•（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p•x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且檢驗△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．本題的最后對求得的結(jié)果進行驗證是不可或缺的步驟，保證了結(jié)果的正確性．