Question

【題目】已知為圓上一動點，圓心關于軸的對稱點為，點分別是線段上的點，且.

（1）求點的軌跡方程；

（2）直線與點的軌跡只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于兩點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用橢圓定義求出點的軌跡方程；（2）由直線與橢圓相切可知，點的坐標為，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，利用均值不等式求最值，從而得到面積的取值范圍.

詳解：（1）因為，所以為的中點，因為，所以，所以點在的垂直平分線上，所以，

因為，所以點在以為焦點的橢圓上，

因為，所以，

所以點的軌跡方程為.

（2）由得，，

因為直線與橢圓相切于點，

所以，即，

解得，

即點的坐標為，

因為點在第二象限，所以，

所以，

所以點的坐標為，

設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，

設直線的方程為，

則

，

，

當且僅當，即時，

有最大值，

所以，

即面積的取值范圍為.