Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（0， ），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ．直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求 + 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為 ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為 ，
∵直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù)），
∴消去t得直線l的普通方程為 ．
（Ⅱ）點(diǎn)P（0， ）在直線l： 上，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，
得2（﹣ ）2+（ ）2=4，∴5t2+12t﹣4=0，
設(shè)兩根為t1 ， t2 ， 則 ， ，故t1與t2異號(hào)，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = ，
|PA||PB|=|t1t2|=﹣t1t2= ，
∴ + = =
【解析】（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程消去t，能求出直線l的普通方程．（Ⅱ）點(diǎn)P（0， ）在直線l： 上，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得5t2+12t﹣4=0，設(shè)兩根為t1 ， t2 ， 則 ， ，由此能求出 + ．