Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（Ⅲ）試比較T_n與nS_n的大小．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a₁=

1

2

，a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，由此能證明數(shù)列{

an

n

}是首項及公比均為

1

2

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=(

1

2

)n，從而 Sn=2-

n+2

2n

，由此利用分組求和法和錯位相減法能求出數(shù)列{S_n}的前n項和．
（III）由Sn=2-

n+2

2n

，得Sn+1-Sn=

n+2

2n

-

n+3

2n+1

=

n+1

2n+1

＞0，由此能比較T_n與nS_n的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N^*），
∴由a₁=S₁=2-3a₁，解得a₁=

1

2

，…（1分）
由S_n=2-（

2

n

+1）a_n，得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，…（3分）
整理得

an

n

=

1

2

×

an-1

n-1

（n≥2），
∴數(shù)列{

an

n

}是首項及公比均為

1

2

的等比數(shù)列．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

n

=(

1

2

)n，
即an=

n

2n

代入已知得 Sn=2-

n+2

2n

…（6分）
令數(shù)列{

n+2

2n

}的前n項和為A_n，則 An=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

，
由錯位相減法得An=4-

n+4

2n

，…（9分）
∴數(shù)列{S_n}的前n項和Tn=2n-(4-

n+4

2n

)=2n+

n+4

2n

-4．…（10分）
（III）解：由 Sn=2-

n+2

2n

，
得Sn+1-Sn=

n+2

2n

-

n+3

2n+1

=

n+1

2n+1

＞0，
∴數(shù)列{S_n}為遞增數(shù)列，…（12分）
∴當n=1時，T₁=S₁．…（13分）
當n≥2時，T_n=S₁+S₂+…+S_n＜S_n+S_n+…+S_n=nS_n．…（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．