Question

【題目】如圖1，在中，分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

(1)證明垂直平面內(nèi)兩條相交直線即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面的法向量，利用向量夾角公式，即可得與平面所成角.

(3)假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，則，求出平面法向量，假設(shè)平面與平面垂直，則，得出的值，從而得出結(jié)論.

（1），,是平面內(nèi)的兩條相交直線，

平面,

又平面，

,

又,是平面內(nèi)的兩條相交直線，

平面.

（2）如圖建系，

則，，，，

∴，，

設(shè)平面的一個法向量為

則 ∴ ∴

∴取，得，

又∵，

∴，與平面所成角

∴，，

∴與平面所成角的大小.

（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

則，

設(shè)平面法向量為，

則，

∴取，得．

假設(shè)平面與平面垂直，

則，∴，

∴不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直