Question

20．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=45°．△PAB與△PAD都是等邊三角形．
（1）求證：CD⊥平面PBD；
（2）求直線CD與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，過(guò)A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CD⊥平面PBD．
（2）求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出直線CD與平面PAD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，過(guò)A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則由題意C（4，2，0），D（2，0，0），P（1，1，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{PB}$=（-1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{PD}$=0，
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{PD}$，∴CD⊥PB，CD⊥PD，
∵PB∩PD=P，∴CD⊥平面PBD．
解：（2）$\overrightarrow{AP}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0），
設(shè)平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)直線CD與平面PAD所成角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直線CD與平面PAD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．