Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由數(shù)學(xué)歸納法證得不等式；

（Ⅱ）先利用證明，得數(shù)列是遞減數(shù)列，則，進(jìn)而分析法證明原不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）所證不等式取倒移項(xiàng)得數(shù)列的遞推不等式關(guān)系，利用累加法得，利用分組求和即可證得數(shù)列的前項(xiàng)和；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性證得，即，同前面的證明過程，可證，即原不等式得證.

（Ⅰ）當(dāng)時，，所以命題成立；

假設(shè)時命題成立，即.則

當(dāng)時，有，所以.

故對于都有

（Ⅱ）令，即

所以在上單調(diào)遞減，則

所以，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列

故，因此.

要證明，即證

構(gòu)造函數(shù).

，所以在單調(diào)遞減.

故，因此.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知成立，

則由遞推關(guān)系累加法可得，故數(shù)列的前項(xiàng)和即

構(gòu)造函數(shù)

，所以在單調(diào)遞增.

故，得.

所以有，同前推理有，則同前由累加法可得，故同前分組求和的方式得.

因此得證.