Question

已知為偶函數(shù)，曲線過點， ．

（1）若曲線有斜率為0的切線，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若當時函數(shù)取得極值，確定的單調區(qū)間．

 

Answer 1

（1） ；（2）和為的單調遞增區(qū)間，為的單調遞增區(qū)間．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)為偶函數(shù)，得到，恒有，進而計算出（也可根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質得到對稱軸，該對稱軸為軸，進而得出），然后將點代入求出，進而寫出的表達式，此時，根據(jù)條件有斜率為0的切線即有實數(shù)解，根據(jù)二次方程有解的條件可得，求解出的取值范圍即可；（2）先根據(jù)時函數(shù)取得極值，得到，進而求出，然后確定導函數(shù)，由導數(shù)可求出函數(shù)的單調增區(qū)間，由可求出函數(shù)的單調減區(qū)間．

（1） 為偶函數(shù)，故對，總有，易得
又曲線過點，得，得， 3分

曲線有斜率為0的切線，故有實數(shù)解

此時有，解得 5分
（2）因時函數(shù)取得極值，故有，解得
又，令，得．
當時， 在上為增函數(shù)
當時，，在上為減函數(shù)
當時，，在上為增函數(shù)
從而和為的單調遞增區(qū)間，為的單調遞增區(qū)間 10分．

考點：1．函數(shù)的奇偶性；2．導數(shù)的幾何意義；3．函數(shù)的極值與導數(shù)；4．函數(shù)的單調性與導數(shù)．