Question

如圖，已知平行四邊形中，四邊形為正方形，平面平面分別是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面

（Ⅱ）當四棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）證法１：∵, ∴且

∴四邊形EFBC是平行四邊形　∴H為FC的中點-------------2分

又∵G是FD的中點

∴

∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE  ---------------------------------4分

證法２：連結EA，∵ADEF是正方形　　∴G是AE的中點

∴在⊿EAB中， ------------------------------------------------------------------2分

又∵AB∥CD，∴GH∥CD，

∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE  ---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD且FA⊥AD，　　∴FA⊥平面ABC     D．

∵BD⊥CD, ，  ∴FA=2,（）------------6

∴ ＝

∴（）- ---------------8分

要使取得最大值，只須＝（）取得最大值，

∵，當且僅當即時

取得最大值-----------------------------------------------------------------------9分

解法１：在平面DBC內過點D作于M，連結EM

∵　　∴平面EMD　　∴

∴是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------10分

∵當取得最大值時，,

∴,

∴

即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為．------------------------------12分

解法２：以點D為坐標原點，DC所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖示，-----9

則,

∴,,

設平面ECF與平面ABCD所成的二面角為，

平面ECF的法向量

由得

令得  ------11分

又∵平面ABCD的法向量為

∴．-----------------------11分

       即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為．------------------------------12分