Question

10．好學(xué)的小紅在學(xué)完三角形的角平分線后，遇到下列4個問題，請你幫她解決，如圖，在ABC中，∠BAC=50°，點I是兩角B、C平分線的交點．
問題（1）：填空：∠BIC=115°；
問題（2）：若點D是兩條外角平分線的交點：填空：∠BDC=65°；
問題（3）：若點E是內(nèi)角∠ABC，外角∠ACG的平分線的交點，試探索：∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
問題（4）：在問題（3）的條件下，當(dāng)∠ACB等于多少度時，CE∥AB．

Answer 1

分析 （1）已知點I是兩角B、C平分線的交點，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90+$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因為BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四邊形CDBI中，可證∠BDC=180°-∠BIC=90-$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（4）當(dāng)CE∥AB時，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180-∠BAC）．

解答 解：（1）∵點I是兩角B、C平分線的交點，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90+$\frac{1}{2}$∠BAC=115°；
（2）∵BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=65°；
（3）∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（4）當(dāng)∠ACB等于80°時，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=50°，
∵CE是∠ACG的平分線，
∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．
故答案為：（1）115°；（2）65°．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角、外角平分線的夾角大小與原三角形內(nèi)角的關(guān)系，要充分運用三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)換．