Question

【題目】已知橢圓的中心為坐標原點，其離心率為，橢圓的一個焦點和拋物線的焦點重合．

（1）求橢圓的方程

（2）過點的動直線交橢圓于、兩點，試問：在平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點，若存在，說出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）定點

【解析】

試題分析：（1）先設處橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求的a和c的關系，進而根據(jù)拋物線的焦點求得c，進而求得a，則b可得，進而求的橢圓的標準方程；（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點的坐標，推斷兩圓相切，進而可判斷因此所求的點T如果存在，只能是這個切點．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點A ，B ，根據(jù)韋達定理求得和的表達式，代入的表達式中，求得，進而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．

試題解析：（1）拋物線焦點的坐標為，則橢圓的焦點在軸上

設橢圓方程為

由題意可得，，，

∴ 橢圓方程為 ……3分

（2）若直線與軸重合，則以為直徑的圓是，

若直線垂直于軸，則以為直徑的圓是

由即兩圓相切于點 ……5分因此所求的點如果存在，只能是，事實上，點就是所求的點. ……6分

證明：當直線垂直于軸時，以為直徑的圓過點，若直線不垂直于軸，

可設直線： 設點，

由， ∴ ……9分

又 , ,

∴

……11分

∴ 即： 故以為直徑的圓恒過點.

綜上可知：在坐標平面上存在一個定點滿足條件. ……12分