Question

求證：不論k為何值，直線l：kx－y－4k＋3＝0與曲線C：x²＋y²－6x－8y＋21＝0恒有兩個交點．

Answer 1

[解析]　解法一：將直線l與曲線C的方程聯(lián)立，得

消去y，得(1＋k²)x²－2(4k²＋k＋3)x＋2(8k²＋4k＋3)＝0.③　　　

∵Δ＝4(4k²＋k＋3)²－8(1＋k²)(8k²＋4k＋3)＝12k²－8k＋12＝12>0，

∴方程③有兩相異實數(shù)根，

因而方程組有兩個解，即說明直線l與曲線C恒有兩交點．

解法二：當k變化時，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直線l恒過定點A(4,3)，曲線C是半徑r＝2，圓心為C(3,4)的圓．

∵|AC|＝＝<r，

∴直線l與曲線C恒有兩個交點．