Question

（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，）的一個(gè)零點(diǎn)是.函數(shù)，設(shè)函數(shù).

（1）求的值，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）記函數(shù)圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N.判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由.

Answer 1

（1）,;

（2）;

（3）曲線在點(diǎn)處的切線不平行于直線

【解析】

試題分析：（1）根據(jù),可得.所以.求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間. （2）討論兩根的大小,在討論的符號(hào)得其單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間可得其最值.（3）設(shè)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.由斜率公式可得直線斜率.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在點(diǎn)處的切線的斜率.假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則.即，所以 ，不妨設(shè)，，則，令，判斷等于0是否有解.

試題解析：（1）由是函數(shù)的零點(diǎn)可求得.

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032606085546389553/SYS201503260609190898687153_DA/SYS201503260609190898687153_DA.033.png">，，所以，解，得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為 4分

（2）當(dāng)時(shí)，由，得，，

①當(dāng)，即時(shí)，在上是減函數(shù)，

所以在上的最小值為.

②當(dāng)，即時(shí)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為.

③當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為.

綜上，函數(shù)在上的最小值， 8分

（3）設(shè)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

直線的斜率

，

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

，

假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則，

即，

所以 ，不妨設(shè)，，則，

令，，

所以在上是增函數(shù)，又，所以，即不成立，

所以曲線在點(diǎn)處的切線不平行于直線. 14分

考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).